부동점 정리

Fixed-point Theorem

정의역과 공역이 공간 $X$인 함수 $f:X\to X$에 대하여 $x_0\in X$가 $f(x_0) = x_0$를 만족할때 이 점 $x_0$를 함수 $f$의 부동점 또는 고정점(fixed point)이라고 한다.

부동점 정리[1]는 공간 $X$와 함수 $f$에 적당한 조건이 주어지면 $X$내에 $f$의 부동점이 존재한다는 것을 내용으로 한다. 그 적당한 조건이 구체적으로 어떤 조건인가에 따라 많은 부동점 정리가 있다. 그중에 해석학에서 배우는 바나흐의 부동점 정리와 위상수학에서 배우는 브라우어의 부동점 정리가 잘 알려져 있다.

부동점 정리는 많이 응용되는 도구이다. 대표적으로 립쉬츠 조건을 만족하는 미분방정식의 해가 존재한다는 정리를 증명할때 부동점 정리가 사용된다. 또한 다변수해석학에서 역함수 정리를 증명할때 사용하기도 한다. 부동점 정리는 수학 이외의 학문에서도 응용되는 경우가 많다. 예를 들자면 경제학에서 완전경쟁교환경제에 일반균형이 존재함을 증명하는데에 이용된다. 그리고, 영화 뷰티풀 마인드로 유명한 존 내쉬가 게임이론에서 내쉬균형의 존재를 증명할 때도 부동점 정리가 이용됐다.

바나흐 부동점 정리의 내용은 다음과 같다.

여기서 함수 $f$가 축소사상이라는 것은 임의의 $x,y\in X$에 대하여 상수 $0\leq\alpha<1$가 있어서 $d(f(x),f(y)) \leq \alpha d(x,y)$가 항상 성립하는 사상이라는 것을 말한다.

증명은 완비거리공간임을 이용해서 $X$안의 임의의 점 $x_0$로부터 출발하여 $x_1 = f(x_0)$, $x_2 = f(x_1)$ ...의 방식으로 구성한 수열 $(x_n)$이 코시수열임을 보임으로써 존재성과 유일성을 한꺼번에 보인다. 자세한 것은 해석학 교과서를 참조하면 된다.[2]

여기서 볼록 컴팩트 부분집합은 단위구 $D^n = \{ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n : \Vert \mathbf{x}\Vert \leq 1\}$로 바꾸어도 무방하다. 위의 바나흐 부동점 정리와는 달리 유일성은 브라우어 부동점 정리의 내용이 아니다.

여러 위상수학 교과서에 귀류법을 사용하는 증명법이 소개되어 있다.[3] 그 외에도 여러가지 다른 증명 방법도 있다.